Он родился 31 декабря 1925 года в Горно-Алтайске. После окончания в 1967 году Казанской консерватории по классу композиции работал преподавателем педучилища, детской музыкальной школы Горно-Алтайска. С 1970 года работал в музыкальном училище Томска, с 1974 по 1978 годы – в музыкальном училище Кызыла, а с 1978 — завлитом, затем заведующим музыкальной частью Национального драматического театра.
Во время Великой Отечественной войны Борис Шульгин воевал на 1-м Белорусском фронте, награжден медалью ордена Отечественной войны I степени, медалями «За победу над Германией», «За боевые заслуги».
Является автором многих музыкальных произведений, которые вошли в музыкальный фонд культурного наследия Республики Алтай. Среди них – первая алтайская симфония «Алтай», «Оркестровая сюита» для симфонического оркестра. Он создал первый алтайский струнный квартет, ряд камерно-инструментальных сочинений других жанров. Большое место в творчестве композитора занимает музыка к драматическим спектаклям. Большую популярность имеют песни, романсы его сочинения; наиболее яркие из них: «Яблонька», «Как за Обью рекой», «Байкара», «Шуралай», «Алтай чай», «Студенческая», «Куу», «Салымы башка кайран кыс», «Песня о чабанах».